Tobit模型的形式

Tobit模型的形式如下：

y_i=a+bx_i+Y_i（1）

其中Y_i为随机误差项，x_i为定量解释变量。y_i为二元选择变量。此模型由JamesTobin1958年提出，因此得名。如利息税、机动车的费改税问题等。设

若是第一种选择等于1，第二种选择是0。

对yi取期望，

E（y_i）=a+bx_i（2）

下面研究y_i的分布。因为y_i只能取两个值，0和1，所以y_i服从两点分布。把y_i的分布记为，

则:

E（y_i）=1（p_i）+0（1-p_i）=p_i（3）

由（2）和（3）式有:

p_i=a+bx_i（y_i的样本值是0或1，而预测值是概率。）（4）

以p_i=-0.2+0.05x_i为例，说明x_i每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。假设用这个模型进行预测，当预测值落在区间之内（即x_i取值在之内）时，则没有什么问题；但当预测值落在区间之外时，则会暴露出该模型的严重缺点。因为概率的取值范围是，所以此时必须强令预测值（概率值）相应等于0或1（见下图）。线性概率模型常写成如下形式，

（5）

然而这样做是有问题的。假设预测某个事件发生的概率等于1，但是实际中该事件可能根本不会发生。反之，预测某个事件发生的概率等于0，但是实际中该事件却可能发生了。虽然估计过程是无偏的，但是由估计过程得出的预测结果却是有偏的。

由于线性概率模型的上述缺点，希望能找到一种变换方法，（1）使解释变量xi所对应的所有预测值（概率值）都落在（0，1）之间。（2）同时对于所有的x_i，当x_i增加时，希望y_i也单调增加或单调减少。显然累积概率分布函数F（z_i）能满足这样的要求。采用累积正态概率分布函数的模型称作Probit模型。用正态分布的累积概率作为Probit模型的预测概率。另外logistic函数也能满足这样的要求。采用logistic函数的模型称作logit模型。

累积正态概率分布曲线

logistic曲线